ATAN w Excelu: radiany, stopnie i różnica względem ATAN2

Gdy znam nachylenie, a potrzebuję kąta, sięgam po ATAN. Funkcja przyjmuje jedną liczbę i zwraca arcus tangens w radianach. W polskim Excelu jej nazwa też brzmi ATAN. Historyczny adres tej strony zawiera słowo „arctan”, ale w formule użyj nazwy podanej w dokumentacji Microsoftu.

Pokażę małe przykłady syntetyczne: równe przyprostokątne, nachylenie ujemne i kierunek wyznaczany przez współrzędne. W tym ostatnim przypadku trzeba odróżnić ATAN od ATAN2. Podobna nazwa nie oznacza identycznego wejścia.

ATAN przyjmuje tangens kąta

=ATAN(1)

Argument to liczba odpowiadająca tangensowi poszukiwanego kąta. Dla jedynki wynik wynosi około 0,785398163 radiana, czyli czterdzieści pięć stopni. W trójkącie prostokątnym stosunek przeciwległej przyprostokątnej do przyległej wynosi wtedy jeden. Równe długości dają taki stosunek bez dodatkowych obliczeń.

ATAN nie przyjmuje kąta wyrażonego w stopniach. Jeśli wpiszesz czterdzieści pięć, pytasz o kąt, którego tangens wynosi czterdzieści pięć. Nie wykonujesz konwersji czterdziestu pięciu stopni. To pierwszy szczegół, który sprawdzam, gdy wynik wygląda podejrzanie.

Wynik ATAN mieści się między minus połową pi a połową pi. Pojedynczy stosunek nie wystarcza do ustalenia dowolnego kierunku w pełnym układzie współrzędnych. Do tego wrócę przy ATAN2.

Zamiana radianów na stopnie

W polskiej wersji Excela konwersję wykonuje funkcja STOPNIE:

=STOPNIE(ATAN(1))

Otrzymasz czterdzieści pięć. Tę samą zależność można zapisać jako =ATAN(1)*180/PI(). Oba warianty pokazuje dokumentacja ATAN. Angielska nazwa STOPNIE to DEGREES; nie mieszam tych nazw w jednej polskiej formule.

Zera i jedynki pozwalają łatwo sprawdzić sens przykładu. Przy innych wartościach wynik może wymagać przybliżenia. Ja zachowuję pełną wartość w obliczeniu, a liczbę widocznych miejsc dopasowuję do prezentacji. Sam wygląd komórki nie zmienia jednostki wyniku.

Nachylenie wymaga tych samych jednostek

Załóżmy syntetycznie, że pionowa zmiana wynosi dwa metry, a pozioma również dwa metry. Stosunek wynosi jeden, więc =STOPNIE(ATAN(2/2)) da czterdzieści pięć stopni. Zwróć uwagę na dzielenie wewnątrz funkcji: najpierw opisuję nachylenie, potem szukam odpowiadającego mu kąta.

Jeżeli jedną długość zapiszesz w centymetrach, a drugą w metrach, przed dzieleniem ujednolicam jednostki. Excel nie rozpozna znaczenia samych liczb. Dla poziomej zmiany równej zero iloraz nie jest określony. Wtedy warto użyć współrzędnych i ATAN2 zamiast tworzyć dzielenie przez zero.

ATAN2 w Excelu: najpierw X, potem Y

Dokumentacja ATAN2 podaje kolejność ATAN2(x_num, y_num). W polskim zapisie z separatorem średnikowym wygląda to tak:

=STOPNIE(ATAN2(1;0))

Punkt o współrzędnych X równe jeden i Y równe zero leży na dodatniej osi poziomej. Wynik to zero stopni. Dla =STOPNIE(ATAN2(0;1)) otrzymasz dziewięćdziesiąt stopni, bo punkt leży na dodatniej osi pionowej. Te dwa przykłady ujawniają zamianę argumentów, której nie wykryje punkt o równych współrzędnych.

ATAN2 uwzględnia ćwiartkę. Dla punktu o obu współrzędnych równych minus jeden wynik w stopniach to minus sto trzydzieści pięć. Sam iloraz tych współrzędnych wynosi jeden, więc ATAN z tego ilorazu dałby czterdzieści pięć. Informacja o kierunku zostałaby utracona.

Granice i częste pomyłki

ATAN2 przyjmuje punkt względem początku układu. Dla dwóch punktów potrzebujesz najpierw różnicy ich współrzędnych: zmiany X oraz zmiany Y, podanych w tej kolejności. Nie zamieniaj ich według przyzwyczajeń z innego języka programowania.

Gdy obie współrzędne są zerowe, nie da się wskazać kierunku. Microsoft dokumentuje błąd dzielenia przez zero dla ATAN2 w tym przypadku. Gdy tylko X jest zerowe, ale Y jest niezerowe, funkcja potrafi wyznaczyć kierunek pionowy bez konstruowania ilorazu.

ATAN2 zwraca kąt w radianach większy od minus pi i nie większy niż pi. Dodatni wynik odpowiada kierunkowi przeciwnemu do ruchu wskazówek zegara od dodatniej osi X. To nadal konwencja matematyczna układu, więc nie zakładam bez dodatkowego przeliczenia, że wynik jest azymutem geograficznym.

Formuły wieloargumentowe zapisuję tutaj ze średnikami, typowymi dla polskich ustawień regionalnych. Twoja konfiguracja może używać innego separatora. Nazwy funkcji i separator dopasuj do języka oraz ustawień własnego Excela. Nie zmieniaj przy okazji kolejności współrzędnych.

Ćwiczenie: stosunek czy kierunek

Wpisz na kartce oczekiwane wyniki dla ATAN z argumentami zero, jeden i minus jeden, po konwersji na stopnie. Następnie rozważ ATAN2 dla punktów leżących na dodatnich osiach. Wyjaśnij, dlaczego przestawienie X i Y zmienia kierunek.

Na końcu porównaj punkty o obu współrzędnych dodatnich oraz obu ujemnych. Mają ten sam iloraz, ale różne kierunki. Jeśli potrafisz wyjaśnić tę różnicę, wiesz już, kiedy wystarczy ATAN, a kiedy potrzebne jest ATAN2. Do pokrewnych funkcji przejdziesz z działu Excel.