Jak obliczyć medianę i czym różni się od średniej?

Mediana to środek uporządkowanego zbioru. Przy nieparzystej liczbie obserwacji wybierasz środkową wartość. Przy parzystej liczbie obserwacji liczbowych bierzesz średnią dwóch środkowych. Sam rachunek jest prosty. Więcej uwagi wymaga pytanie, co właściwie trafiło do zbioru i co chcesz później powiedzieć o wyniku.

Ja zaczynam od kartki i kilku liczb. Dopiero potem otwieram Excela. Dzięki temu wiem, jakiego wyniku oczekuję, i szybciej zauważę kolumnę z liczbami zapisanymi jako tekst albo przypadkowo odfiltrowane rekordy. Narzędzie wykona obliczenie, ale nie zdefiniuje za mnie sensownej grupy do porównania.

Wszystkie przykłady w tym tekście są syntetyczne. Nie opisują rzeczywistych pensji, wyników uczniów ani czasów obsługi klientów. Pokazuję na nich obliczenia i interpretację. Definicję oraz różnicę między medianą, średnią i dominantą opisuje m.in. Statistics Canada.

Jak znaleźć medianę przy nieparzystej liczbie wartości

Weźmy pięć czasów wykonania przykładowego zadania: 9, 3, 7, 5 i 4 minuty. Najpierw ustawiam je rosnąco: 3, 4, 5, 7, 9. Trzecia pozycja jest środkowa, więc mediana wynosi 5 minut. Dwie obserwacje są mniejsze, a dwie większe.

Dla nieparzystej liczby obserwacji pozycję środka zapisuję jako (n + 1) / 2, gdzie n oznacza liczbę obserwacji. Przy pięciu wartościach otrzymuję pozycję trzecią. To numer miejsca w szeregu, a nie wynik działania na samych mierzonych wartościach. Ten szczegół łatwo zgubić przy pierwszym spotkaniu ze wzorem.

Sortowanie jest kluczowe dla ręcznego liczenia. Środkowa komórka w losowo ułożonej kolumnie nie musi zawierać mediany. W pierwotnej kolejności naszego zbioru w środku stało 7, ale mediana wynosi 5. Najpierw porządkuję wartości według wielkości, potem wybieram pozycję.

Powtórzenia zachowuję. Jeśli dwa zadania trwały po 4 minuty, są to dwie obserwacje. Usunięcie jednej czwórki zmieniłoby badany zbiór. Deduplikacja ma sens dopiero wtedy, gdy wiem, że dwa rekordy opisują to samo zdarzenie wskutek błędu importu. Taka sama liczba nie jest jeszcze dowodem takiego błędu.

Parzysta liczba obserwacji: dwa miejsca pośrodku

Wróćmy do przykładu ocen z wcześniejszej wersji artykułu: 5, 5, 5, 4, 5, 2, 2, 4. Po sortowaniu dostaję 2, 2, 4, 4, 5, 5, 5, 5. Mamy osiem obserwacji, więc środek wypada między pozycją czwartą i piątą.

Na tych pozycjach stoją 4 i 5. Ich suma to 9, a po podzieleniu przez dwa otrzymuję medianę 4,5. Taka wartość nie musi występować w zbiorze. Żaden uczeń nie musiał dostać dokładnie takiej oceny, żeby wynik opisujący środek był poprawny rachunkowo.

Przy parzystym n biorę pozycje n / 2 oraz n / 2 + 1. Liczę średnią wartości na tych pozycjach. Nie liczę średniej numerów pozycji i nie wybieram arbitralnie jednej strony. Oficjalna definicja mediany opisuje właśnie tę konwencję dla danych liczbowych.

Przykład ocen traktuję jako ćwiczenie na umownie zakodowanych liczbach. Przy rzeczywistym ocenianiu trzeba jeszcze wiedzieć, jak interpretować skalę i jakie reguły obowiązują w danej szkole. Wynik 4,5 nie staje się automatycznie oceną końcową ani obietnicą określonej decyzji nauczyciela.

Średnia i mediana opisują różne właściwości

Dla tych samych ośmiu ocen suma wynosi 32. Dzieląc ją przez osiem, otrzymuję średnią arytmetyczną równą 4. Mediana wynosi 4,5. Obie liczby są poprawne i żadna z nich nie musi zostać poprawiona po to, żeby zrównać się z drugą.

Średnia wykorzystuje sumę i liczbę obserwacji. Mediana wykorzystuje położenie w uporządkowanym szeregu. Jeśli celem jest odtworzenie łącznej liczby punktów przy znanej liczbie jednakowo ważonych obserwacji, średnia daje taką możliwość. Z samej mediany nie odtworzę sumy.

Dlatego usuwam z wcześniejszego wyjaśnienia ocenę, że mediana jest zazwyczaj „bardziej sprawiedliwa”. Wybór miary wynika z pytania. Dla opisu środka przy skośnym rozkładzie mediana bywa użyteczna. Dla oszacowania łącznego czasu wykonania wielu zadań potrzebuję także informacji o sumie albo średniej i o długich przypadkach.

O różnej wrażliwości tych miar na skrajne wartości pisze Australian Bureau of Statistics. Nie wyciągam z tego wniosku, że jedną z miar należy wyrzucić z każdego raportu. Często dopiero ich zestawienie pokazuje ciekawy problem w danych.

Co robi jedna bardzo duża obserwacja

Rozważmy pięć syntetycznych czasów obsługi: 2, 3, 4, 5 i 6 minut. Mediana wynosi 4, a średnia również 4, bo suma 20 podzielona przez pięć daje 4. Teraz zastępuję ostatnią wartość 6 liczbą 36. Zbiór ma postać 2, 3, 4, 5, 36.

Mediana nadal wynosi 4. Pozycja środkowa nie zmieniła się. Suma wzrosła jednak do 50, więc średnia wynosi teraz 10. To pokazuje konkretną właściwość mediany: przesunięcie skrajnej wartości dalej od środka może nie zmienić jej wyniku, jeśli uporządkowanie środkowych pozycji pozostaje takie samo.

Nie oznacza to, że wolno zignorować zadanie trwające 36 minut. Być może właśnie ono blokuje kolejkę albo wymaga innej procedury. Raport pokazujący wyłącznie medianę może nie przekazać tej informacji. Ja dodałbym co najmniej liczbę obserwacji i informację o rozpiętości lub rozkładzie czasów.

Duża wartość może być pomyłką, ale może też być poprawnym zapisem trudnego przypadku. Zanim ją usunę, sprawdzam znaczenie rekordu. Sam fakt, że zmienia średnią, nie dowodzi błędu. O podobnych decyzjach piszę w tekście o czyszczeniu danych.

Czy połowa wartości musi być mniejsza od mediany

Przy powtórzeniach zdanie „połowa jest poniżej, połowa powyżej” wymaga ostrożności. Weź zbiór 1, 2, 2, 2, 9. Mediana to 2. Tylko jedna wartość jest ściśle mniejsza i tylko jedna ściśle większa. Trzy obserwacje są równe medianie.

Bezpiecznie mówię, że co najmniej połowa obserwacji ma wartość nie większą od mediany i co najmniej połowa nie mniejszą. To dopuszcza remisy. W praktycznym opisie można powiedzieć, że mediana wyznacza środek uporządkowanych danych, bez obiecywania dwóch dokładnie równych grup wartości ściśle różnych od wyniku.

Podobnie mediana nie oznacza najczęstszej wartości. Najczęstszą wartość nazywamy dominantą. W zbiorze 1, 1, 2, 3, 4 mediana wynosi 2, a dominanta 1. Jeśli ktoś pyta o najczęściej spotykany rozmiar zamówienia, samo podanie mediany może więc odpowiadać na inne pytanie.

Zwracam na to uwagę przy opisach dashboardów. Etykieta „typowy wynik” jest wygodna, ale nieprecyzyjna. Wolę napisać „mediana czasu ukończonych zadań” i wskazać okres. Wtedy odbiorca wie, jaka miara została obliczona i jakiej grupy dotyczy.

Najpierw ustal, co oznacza jedna obserwacja

Możesz policzyć medianę wartości zamówień, medianę wydatków klientów albo medianę miesięcznych sum sprzedaży. Każda z tych miar używa innej jednostki obserwacji. Nawet jeśli wszystkie kwoty pochodzą z tej samej firmy, nie opisują tego samego zjawiska.

Przy zamówieniach klient, który kupował dziesięć razy, dostarcza dziesięć obserwacji. Przy łącznych wydatkach klientów ten sam człowiek wnosi jedną sumę. Odbiorca nie musi znać technicznych szczegółów tabel, ale powinien wiedzieć, czy raport opisuje zamówienie, osobę czy miesiąc.

Przykład liczbowy jest prosty. Pierwszy klient ma trzy zamówienia po 10, a drugi jedno zamówienie za 100. Mediana czterech zamówień wynosi 10. Sumy według klientów to 30 i 100, a mediana tych dwóch sum wynosi 65. Nie ma tu sprzeczności. Zmieniliśmy obiekt obserwacji.

Warto też ustalić, czy każde zdarzenie jest równie ważne. Mediana z jednego rekordu na sklep traktuje mały i duży sklep jako jedną obserwację każdy. Mediana ze wszystkich transakcji daje więcej obserwacji sklepowi z większą liczbą zakupów. Jeśli analiza wymaga wag, trzeba jawnie określić osobną metodę, zamiast udawać, że zwykła formuła już je uwzględnia.

Nie łącz median grup przez ich uśrednienie

Załóżmy, że grupa A ma wartości 1, 2, 3, a grupa B wartości 100 i 101. Mediana A wynosi 2, mediana B wynosi 100,5. Średnia tych dwóch median to 51,25. Tymczasem po połączeniu obserwacji mam 1, 2, 3, 100, 101, a mediana całości wynosi 3.

Nawet ważenie median liczebnościami grup nie przywraca ogólnie poprawnego wyniku. Same środki grup nie zachowują informacji o pozycjach wszystkich obserwacji. Potrzebujesz danych szczegółowych albo struktury, z której da się odtworzyć ich rozkład. Dwie liczby opisujące grupy to za mało.

Ten błąd pojawia się w raportach miesięcznych. Ktoś ma dwanaście median miesięcznych i liczy z nich jedną „medianę roku”. Otrzymana liczba opisuje dwanaście miesięcznych wskaźników, a nie wszystkie roczne transakcje. Może być potrzebna, ale musi mieć odpowiednią nazwę i interpretację.

Ja zapisuję obok wyniku poziom agregacji. Jeśli raport ma pokazywać medianę czasu pojedynczego zgłoszenia w roku, wracam do zgłoszeń z tego roku. To samo rozumowanie pomaga przy grupowaniu w SQL: najpierw określam wiersz wejściowy, potem wybieram podsumowanie.

Mediana w Excelu i kontrola brakujących danych

W polskim Excelu służy do tego funkcja MEDIANA, a w angielskim MEDIAN. Jeżeli osiem ocen znajduje się w komórkach od A2 do A9 jako liczby, formuła =MEDIANA(A2:A9) zwróci 4,5. Angielska wersja to =MEDIAN(A2:A9).

Nie musisz fizycznie sortować arkusza przed wywołaniem tej funkcji. Sortowanie z wcześniejszych przykładów jest sposobem ręcznego wyjaśnienia definicji. Przestawienie samych wartości w tabeli bez identyfikatorów mogłoby natomiast uszkodzić powiązania między kolumnami. Lepiej zachować źródło w całości i kontrolować wynik w osobnej komórce.

Według dokumentacji Microsoft funkcja pomija tekst, wartości logiczne i puste komórki w przekazanym zakresie, ale uwzględnia zera. Dlatego liczba zapisana jako tekst może wypaść z obliczenia. Pusta komórka oraz rzeczywisty zerowy czas nie są równoważnymi danymi.

Wyobraź sobie wartości 0, 2 i 10. Mediana wynosi 2. Jeśli zero oznaczało brak pomiaru i zgodnie z ustaloną regułą nie powinno uczestniczyć w analizie, po jego wyłączeniu mediana dwóch znanych czasów wynosi 6. Musisz więc wiedzieć, czy zero jest pomiarem, czy umownym kodem braku.

Przed użyciem formuły sprawdzam liczbę poprawnych obserwacji. Osobno zapisuję liczbę braków. Jeżeli porównuję dwa okresy, upewniam się, że w obu zastosowano tę samą zasadę. Inaczej zmiana mediany może wynikać z innej obsługi pustych pól, a nie ze zmiany badanego procesu.

Wynik bez kontekstu bywa mylący

Dwa zbiory mogą mieć identyczną medianę i bardzo różny rozrzut. Dla 4, 5, 6 środek wynosi 5. Dla 1, 5, 100 również wynosi 5. W drugim przypadku skrajne doświadczenia są znacznie bardziej zróżnicowane. Jedna liczba nie pokazuje pełnego obrazu.

Przy porównaniu zespołów potrzebuję także porównywalnego zakresu zadań. Jeśli jeden zespół obsługuje krótkie prośby, a drugi trudne reklamacje, sama mediana czasu nie wyznacza jakości pracy. Definicja początku i końca pomiaru, wyłączenia oraz rodzaj spraw mogą być ważniejsze niż różnica dwóch środkowych wartości.

Uważam też na niezakończone obserwacje. Mediana czasu tylko zamkniętych zadań nie mówi, jak długo czekają nadal otwarte. Jeżeli długie sprawy pozostają w kolejce, raport o zamkniętych może wyglądać dobrze mimo rosnącego problemu. W takim przypadku osobno pokażę liczbę i wiek otwartych spraw.

Przy bardzo małym zbiorze pokazuję wszystkie liczby. Dla trzech pomiarów miniaturowa tabelka bywa uczciwsza i czytelniejsza niż rozbudowany dashboard. Odbiorca sam zobaczy, czy środkowy wynik opisuje powtarzalną sytuację, czy przypadkowe spotkanie trzech odmiennych przypadków.

Porównuj ten sam pomiar w tym samym oknie czasu

Przed obliczeniem mediany czasu realizacji ustalam moment początku oraz końca. Czy początek oznacza wpływ zgłoszenia, czy jego przydzielenie? Czy koniec oznacza rozwiązanie sprawy, czy zaakceptowanie rozwiązania? Dwa raporty z innymi definicjami mogą mieć identyczny tytuł i nieporównywalne wyniki. Sama poprawność formuły niczego tutaj nie rozstrzygnie.

Następna decyzja dotyczy okresu. Zadania rozpoczęte w październiku nie muszą być tym samym zbiorem co zadania zakończone w październiku. Przy długich sprawach różnica może być duża. Zapisuję więc regułę wyboru obserwacji, zamiast liczyć na to, że słowo „październik” wystarczy każdemu odbiorcy za pełną definicję.

Sprawdzam również jednostkę. Pięć minut i pięć godzin to w tabeli czasem taka sama liczba 5, jeśli ktoś pominął opis kolumny. Łączenie źródeł wymaga sprowadzenia pomiarów do wspólnej jednostki. Po takim przeliczeniu mediana ma jednostkę danych wejściowych. Nie jest procentem ani abstrakcyjnym wskaźnikiem bez znaczenia fizycznego.

Na koniec pytam, czy wynik dotyczy wszystkich interesujących zdarzeń, czy wybranej próbki. Pięć znanych czasów pozwala opisać te pięć pomiarów. Nie daje automatycznej podstawy do twierdzenia, że dokładnie tak wygląda cały rok albo każdy klient. Wniosek powinien mieścić się w granicach dostępnych danych.

Jak opisałbym ten wynik odbiorcy

Dla pierwszego przykładu napisałbym: „Mediana pięciu zmierzonych czasów wynosi 5 minut. Zakres obserwowanych czasów to od 3 do 9 minut”. Taki opis od razu pokazuje jednostkę, liczebność i podstawowy kontekst. Nie obiecuje, że każde następne zadanie zajmie najwyżej pięć minut.

Jeśli mam braki, dopisuję ich liczbę. Jeżeli wyłączyłem określoną kategorię spraw, nazywam ją obok wyniku. Nie chowam istotnego ograniczenia wyłącznie w technicznym opisie zapytania. Odbiorca raportu powinien móc zrozumieć, do czego liczba się odnosi, bez otwierania kodu.

Ćwiczenie: policz i obroń interpretację

Weź siedem syntetycznych czasów: 8, 3, 4, 20, 5, 4 i 12 minut. Po uporządkowaniu otrzymasz 3, 4, 4, 5, 8, 12, 20. Mediana wynosi 5 minut. Suma wynosi 56, więc średnia to 8 minut. Powiedz zwykłym zdaniem, dlaczego te wyniki mogą wystąpić jednocześnie.

Następnie zastąp 20 liczbą 48. Mediana nadal wynosi 5, a średnia rośnie do 12. Zastanów się, czy raport o dostępnej przepustowości zespołu powinien pokazywać tylko medianę. Odpowiedź zależy od celu, ale długi przypadek nie przestaje zajmować czasu dlatego, że nie przesunął środka szeregu.

Na końcu dopisz brakującą ósmą obserwację bez wymyślania jej wartości. Zapisz, że mediana dotyczy siedmiu znanych czasów i że jednego pomiaru brakuje. Taki opis jest bardziej użyteczny niż wstawienie zera wyłącznie po to, żeby kolumna wyglądała na kompletną. Dobry rachunek zaczyna się od uczciwie opisanych danych.